Filosofía de las Matemáticas. Breve recuento histórico

Por: Rodrigo Mendieta Muñoz, PhD.
Director de Investigaciones de la Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas de la Universidad de Cuenca (Ecuador)

Con base en la obra “Historia y Filosofía de la Matemáticas” de Ángel Ruiz Zúñiga, puede plantearse como idea central, por un lado, el devenir crítico que a acaecido sobre la filosofía de las matemáticas y, por ende, de las ciencias naturales que a ella se vinculan. Así, históricamente, nos va explicando la vigilancia epistemológica que ha tenido lugar en la ciencia exacta, y cómo el contante cuestionamiento sobre sus fundamentos ha sido la base para su desarrollo. Por otro lado, se plantea la necesidad de este análisis histórico para entender las matemáticas y avanzar en su conocimiento.

Partiendo con la idea de Platón de que el mundo debe adaptarse a las matemáticas, se manifiesta la preocupación de la Grecia Antigua de interpretar la realidad de varias disciplinas mediante esta ciencia. Se asevera que los objetos matemáticos son puntos ideales de realidad a los cuales los objetos físicos tienden. La matemática, y todo lo que a través de ella sea explicado, es considerado verdadero por su carácter idealista. Esta cosmovisión, a pesar del descubrimiento de los números irracionales, permitió a Platón plantear una teoría geométrica del mundo.          

Para Aristóteles en cambio, más que matemáticas existían cosas materiales. El conocimiento se genera a través de la abstracción y la intuición. Los objetos matemáticos son parte de la experiencia. Se propone un modelo para estudiar las ciencias demostrativas con tres postulados: deductividad, evidencia y realidad.

Estas ideas iniciales de Platón y Aristóteles inspiran el desarrollo posterior de las matemáticas en épocas de la Modernidad. Antes de llegar al siglo XVII, la filosofía de las matemáticas es fuertemente influenciada por el sesgo teológico impuesto por la Escolástica, la preocupación por los Universales, y el Empirismo. De esta forma, llegamos a una concepción revolucionaria en Descartes al inaugurar la racionalidad en las matemáticas. En contraposición a la tradición platónica y aristotélica, en Descartes hay una “humanización de las ideas”, una explicación que va a ser inmanente al ser humano. Para Descartes “para pensar hay que ser”, y plantea criterios metodológicos que determinan que una cosa sea verdadera: iniciar con la intuición sin precipitaciones, propiciar el análisis y las síntesis logradas de ir de lo simple a lo complejo, dividir una dificultad a resolver en parcelas pequeñas, y controlar la continuidad en la cadena de los razonamientos.

Más adelante en el tiempo, otro racionalista, Leibniz, usando las ideas aristotélicas, emprende la nueva matemática que surge con el cálculo diferencial e integral. Introduce la idea de dinámica o fuerza viva en las ciencias exactas, en contraposición a la física estática, geométrica de Descartes. Plantea la mónada como esta fuerza de representación. En cuanto al desarrollo científico plantea dos principios: el de contradicción (una cosa puede ser falsa o verdadera); y el de razón suficiente, que fundamenta cuál es la condición para valorar como verdadera una proposición.

Teniendo como base este Racionalismo, Kant hace una “Critica de la Razón” y, combinando las ideas de Aristóteles y Descartes, plantea que el “…orden, la racionalidad, que creemos encontrar en lo externo, están dados por lo interno, por el sujeto”. Todos los conocimientos comienzan en la experiencia. Entonces la matemática no es analítica para Kant, sino más bien sintética porque exige la intervención de la intuición. Una intuición que se construye mediante “conexiones deductivas” y que limita al conocimiento matemático.

Para los racionalistas y para Kant, la razón genera verdades a priori tras cierta concepción teórica, ya sea esta idealista o intuicionista. Hasta aquí, el paradigma dominante concibe a las matemáticas a priori, con  verdades necesarias y absolutas.

Durante el siglo XVIII, las matemáticas se tornan eminentemente cuantitativas y más vinculadas a las ciencias naturales. Se paralizan las preocupaciones lógicas de sus fundamentos. Con esto, a inicios del siglo XIX, se da el “primer desastre” con el surgimiento de las geometrías no euclidianas y la existencia de los cuaterniones de Hamilton, que volcaron la atención sobre los fundamentos lógicos. Se inician nuevos cuestionamientos que requirieron recursos teóricos nuevos de la filosofía y la lógica para resolverlos. Así, tanto la Teoría de Conjuntos de Cantor, como la Lógica Simbólica moderna fundada por Boole, reforzaron una nueva visión de las matemáticas, que, ya entrado el siglo XX puede ser categorizada en tres escuelas: el logicismo, el formalismo y el intuicionismo.

Frege (logicismo) plantea que la aritmética no era sintética a priori sino analítica, y por tanto lógica. Con lo que se otorga a la matemática un mecanismo lógico con rigor y certeza. Al igual que Platón, Frege explica la validez epistemológica de las matemáticas mediante la “exhibición de objetos” en un existente “tercer mundo”. Por su parte, los intuicionistas seguidores de Kant, recurren a una intuición del cual parte y se desarrolla el conocimiento de las matemáticas, pero esta vez deciden reducirla a una intuición exclusivamente temporal. Finalmente, y bajo similar perspectiva, el formalismo postula que la matemática no debe reducirse a nociones y principios lógicos, sino que esta describe y se liga a la percepción interior.

Toda esta visión de formalidad de las matemáticas fue criticada por Gödel en 1931, aduciendo que la formalización no puede ser absoluta y que no garantiza consistencia. Las implicancias de estos cuestionamientos tuvieron implicancias no menores, pues fueron en contra de los dogmas que hacía de las “verdades” matemáticas “zonas liberadas” infalibles. Y es justamente en 1962 cuando Imre Lakatos se cuestiona ¿por qué buscar fundamentos (en las matemáticas), si se acepta que son subjetivismos? ¿Por qué no admitir honestamente la falibilidad matemática…?”.

Con lo que se plantea de nueva cuenta una transformación en las ideas sobre las matemáticas de tal suerte influya positivamente en la evolución del hombre. Una transformación que reconozca que el análisis histórico deja experiencias importantes y que debe ser parte del proceso enseñanza – aprendizaje.

Referencia:

Ruiz Zúñiga Ángel (2003). Historia y Filosofía de las Matemáticas. EUNED. Capítulos 23 al 28.

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